Question

倾斜角为a的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且于抛物线交于A、B两点．

若a为锐角，作线段AB的垂线平分m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值．

解：
因为a为锐角，所以斜率必存在
设直线AB：y=k(x-2)
与y^2=8x联解得：
(k^2)*(x^2)-(8+4k^2)x+4k^2=0
则，x1+x2=(8+4k^2)/k^2 ,y1+y2=k(x1+x2-4)=8/k
所以 AB中点(4/k^2+2,4/k)
那么,直线m:y=-(1/k)(x-4/k^2-2)+4/k
令y=0,则x=6+4/k^2
所以|PF|=4(1+1/k^2)=4/(sina)^2
又,|PF|-|PF|cos2a=|FP|(1-cos2a)=2(sina)^2*4/(sina)^2=8 [定值]

这个答案的 所以|PF|=4(1+1/k^2)=4/(sina)^2
这一步怎么来的 怎么得的=4/(sina)^2
请详解 谢谢

Answer 1

因为k=tana 1+1/k^2=1+1/tana^2=1+[(cosa)/(sina)]^2=(sina/sina)^2+[(cosa)/(sina)]^2=
=[sina^2+cosa^2]/sina^2=1/sina^2
cos2a=1-2sina^2 1--cos2a=2sina^2
全都是三角运算。

Answer 2

求出了P点，然后可以求出|PF|