Question

已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3 (1)求f(2)的解析式

(2)在区间[-1,1]上，y=f(x)的图像恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围

Answer 1

（1）因为二次函数有最小值1，所以可设解析式y=m(x-n)^2+1

由

f(0)=mn^2+1=3

f(2)=m(2-n)^2=3

得

mn^2=2

m[n^2-(2-n)^2]=0

解得

m=2

n=1

所以y=2(x-1)^2+1，即y=2x^2-4x+3。

（2）因为f(x)在[2a，a+1]上不单调，

所以2a<1<a+1，所以0<a<1/2。

（3）原式即“对一切t>0和x∈R，都有m≤2[g(t)+f(x)]   （#），

亦即“对一切t>0，即使g(t)取最小值，同时对一切x∈R，即使f(x)取最小值，哪怕是同时取最小值，(#)式都要能成立”

所以m≤2[min{g(t)}+min{f(x)}]      t>0，且x∈R，

【这里min{g(t)}、min{f(x)}分别指g(t)和f(x)的最小值  】

由（1），当x=1时f(x)有最小值1；

又g(t)=(t^2+t+9)/(t+1)=t+9/(t+1)=(t+1)+1/(t+1)-1=[√(t+1)-3/√(t+1)]^2-1，

当t=2时【满足t>0】，√(t+1)=3/√(t+1)，g(t)有最小值5。

【亦可g(t)=(t^2+t+9)/(t+1)=t+9/(t+1)，

g '(t)=1-9(t+1)^2=(t^2+2t-8)/(t+1)^2，

当0<t<2时，g '(t)<0，g(t)是减函数，

当t>2时，g '(t)>0，g(t)是增函数，

所以当t=2时，g(t)有最小值g(2)=2+9/(2+1)=5。】

所以m≤2(5+1)=12。

Answer 2

（1）因为f(0)=f(2)=3 ，所以f(x)的对称轴为x=1，又函数的最小值为1，所以函数经过点（1,1）因此其解析式为f(x)=2(x-1)^2+1=2x^2-4x+3
（2）在区间[-1,1]，f(x)单调递减，y=2x+2m+1单调递增，由y=f(x)的图像恒在y=2x+2m+1的图象上方可得f(1)=1>2*1+2m+1,求解不等式可得m<-1

Answer 3

既然是二次函数，设为x^2+ax+b=0 带f(0)及f(2)，即可求出解析式
第一步出来了，第二步出来了，看作切线