Question

已知函数f(x)=x³+x (1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论 (2)求证：f(x)是R上的增函数

(3)若f(m+1)+f(2m-3)<0,求m的取值范围。（参考公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

Answer 1

1、f(-x)=(-x)^3+(-x)=-(x^3+x)=-f(x)
所以函数是奇函数
2、令a，b∈R，且a<b
f(a)=a^3+a
f(b)=b^3+b
f(a)-f(b)=a^3+a-b^3-b=(a-b)(a^2+ab+b^2+1)
因为a<b,所以a-b<0
因为a^2+b^2≥2ab>ab,所以a^2+b^2+ab>0
所以f(a)-f(b)<0
f(a)<f(b)
所以，f(x)在R上是增函数。
3、因为f(x)是奇函数
所以f(2m-3)=-f(3-2m)
f(m+1)-f(3-2m)<0
f(m+1)<f(3-2m)
因为f(x)在R是增函数
所以m+1<3-2m
m<2/3