Question

已知抛物线c：x^2=2py(p>0)的焦点为f，抛物线上一点a的横坐标为x1（x1>0），过点

已知抛物线c：x^2=2py(p>0)的焦点为f，抛物线上一点a的横坐标为x1（x1>0），过点a作抛物线c的切线L1交x轴于d，交y轴于点q，交直线L:y=p/2于点m，当fd的绝对值=2，角afd=60°
1，求证三角形afq为等腰三角形，并求抛物线c的方程
2，若b位于y轴左侧的抛物线c上，过点b做抛物线c的切线L2交直线L1于点p，交直线L于点n，求三角形pmn的面积最小值，并求取得最小值是的x1的值

Answer 1

由条件可以求得：
抛物线方程y=x^2/4，p=2，L:y=0.5，右切点为(2√3,3);
Spmn=0.5|mn|*h,
其中h=p/2-y(p)=1-y(p)
设切点(x1,x1^2/4)，(x2,x2^2/4)
=>
切线：
y-x1^2/4=0.5x1(x-x1)=0.5x1x-0.5x1^2
y-x2^2/4=0.5x2(x-x2)=0.5x2x-0.5x2^2
也即：
x2y+x2x1^2/4=0.5x1x2x
x1y+x1x2^2/4=0.5x1x2x
消去x，求P点纵坐标
=>
(x2-x1)y=x1x2(x2-x1)/4
=>
y=0.25x1x2=p(y)
=>
h=p/2-p(y)
=1-0.25x1x2
下面求|MN|
令y=p/2=1
=>
1+x1^2/4=0.5x1xm
1+x2^2/4=0.5x2xn
=>
x2+x2x1^2/4=0.5x1x2xm
x1+x1x2^2/4=0.5x1x2xn
=>
(xm-xn)=(x2-x1)(1-0.25x1x2)/(0.5x1x2)
=>
|MN|=|x2-x1|(1-0.25x1x2)/(0.5x1x2)
=>
Spmn=0.5|mn|*h
=0.5(1-0.25x1x2)|x2-x1|(1-0.25x1x2)/(0.5x1x2)
=(1/x1-1/x2)(0.25x1x2-1)^2
S(x2)=(1/x1-1/x2)(0.25x1x2-1)^2
S'(x2)=(1/x1-1/x2)*2(0.25x1x2-1)*0.25x1+(0.25x1x2-1)^2*(1/x2^2)
令S'(x2)=0
=>
2x2^2-x1x2-4=0
代入x1=2√3得到x2=0.5(√3-√11)

Answer 2

求取得最小值是的x1的值,你却代入x1=2√3 ，这是什么事情啊 应该是这样：
S'(x2)=(1/x1-1/x2)*2(0.25x1x2-1)*0.25x1+(0.25x1x2-1)^2*(1/x2^2)
令S'(x2)=0
=>
2x2^2-x1x2-4=0
再S'(x1)=-------，得：2x1^2-x1x2-4=0
故：2x1^2=2x2^2 得x1=2/3√3 最小面积=16√3 /9