Question

已知数列(an)的前n项和为Sn，a1=-(2/3),满足Sn+(1/Sn)+2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.

已知数列(an)的前n项和为Sn，a1=-(2/3),满足Sn+(1/Sn)+2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式怎么用归纳法证明？

Answer 1

s1=-2/3
s2=-3/4，
s3=-4/5,
s4=-5/6，……
sn=-(n+1)/(2+n)
证明：(1)由前面的计算，显然n=1时满足sn=-(n+1)/(2+n)
(2)假设当n=k>1时，满足sn=-(n+1)/(2+n)，即有sk=-(k+1)/(2+k),
则当n=k+1时，由Sn+1/Sn+2=an(n≥2)，得Sk+1+1/(Sk+1)+2=ak+1 (这里的k+1为下标哈)
即有-(k+1)/(2+k)+1+1/(-(k+1)/(2+k)+Ak+1 )+2=Ak+1 （Ak+1中的k+1表示下标）
解得Ak+1=-1/(k+2)(k+3)，（Ak+1中的k+1表示下标）
则，Sk+1=sk+Ak+1 (Sk+1、Ak+1中的k+1表示下标)
=-(k+1)/(2+k)-1/(k+2)(k+3)
=(k+2)/(k+3)
即n=k+1时，也满足。
由(1)(2)知，对任意n，sn=-(n+1)/(2+n)成立

Answer 2

S 1=-2/3;S2=-3/4;S3=-4/5;S4=-5/6;猜想Sn=-(n+1)/(n+2);当n=1；2时成立，假设对n<=k时成立，当n=k+1时，S(k+1)+1/S(k+1)+2=a(k+1)=S(k+1)-Sk,所以:1/S(k+1)=-2+(k+1)/(k+2)=-(k+3)/(k+2)则S(k+1)=-(k+2)/(k+3),则由数学归纳法知对任意n假设成立