Question

2010随州数学中考25题

25、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线y=54作垂线，垂足为M，连FM（如图）．
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x=1上有一点F(1，34)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

Answer 1

1，对称轴=-b/2a=1 ,x=1时y=1及过原点可求得a=-1, b=2, c=0
2, 由于PM为等腰三角形则FM=FP，又PM垂直于y=5/4,所以连接F与PM的中点G，则FG为PM的垂直平分线，则1/2PM=F到y的距离=1/2 所以PM=1 故P的纵坐标为1/4，横坐标为1+二分之根号3，证明只需证FM=PM=1即可 FM=1可以由勾股定理得到
3，假设存在N点，PN=x-1或1-x PM=5/4-y 由PM=PN有 x-1=5/4-y y=-x^2+2x
解得x=3/2 y=3/4=t 所以存在t=3/4使PM=PN

Answer 2

1.a=-1,b=2,c=0