Question

在线等。已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),斜率为1的直线与椭圆C交于A,B两点,

(1)若椭圆的离心率e=根号3/2，直线L过点M（b,0），且向量OA·向量OB=-12/5，求椭圆C的方程

速回， 详细点 谢谢啦。
没有人呢 .....................

Answer 1

解：
由已知得：直线方程为y=x-b
与椭圆方程联立，消去y得：
b^2*x^2+a^2(x^2-2b*x+b^2)=a^2*b^2
化简：(a^2+b^2)x^2-2a^2*b*x=0
设A(x1,y1)，B(x2,y2）
那么，根据韦达定理：x1x2=0，x1+x2=2a^2*b/(a^2+b^2)
又A,B都在直线L上，向量OA*OB=-12/5
∴向量OA*OB=x1x2+y1y2=0+(x1-b)(x2-b)=x1x2-b(x1+x2)+b^2=-2a^2*b^2/(a^2+b^2)=-12/5
两边同时倒数得：1/a^2+1/b^2=5/6……①
∵e=√3/2
∴e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=3/4
化简得：a^2=4b^2
代入①得：
1/4b^2+1/b^2=5/6
5/4*(1/b^2)=5/6
解得：b=√6/2
∴a=√(4b^2)=√6
∴椭圆C的方程为：x^2/6+2y^2/3=1