已知函数f(x)=2x^2+ax+b/ x^2+1的值域为〔1,3〕求a,b的值

答案因为y=2x²+ax+b/x²+1,所以(y-2)x²-ax+y-b=0(1)当y-2≠0时因为x∈R,Δ≥0,即a²-4(y... 答案
因为y=2x²+ax+b/ x²+1,所以(y-2)x²-ax+y-b=0
(1)当y-2≠0时因为x∈R,Δ≥0,即a²-4(y-b)(y-2)≥0
而4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0
又因为1≤y≤3 所以1,3是关于y=方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0的两根
由根与系数的关系,得 b+2=4 (8b-a²)/4=3
解得 a=±2 b=2
(2)当y=2时ax+b=2,当a=2,b=2;或a=-2,b=2时,x=0满足题意所以a=±2,b=2

【对于这道题的几点疑问。希望得到解答】

第一点

函数y=2x²+ax+b/ x²+1 (y-2)x²-ax+y-b=0 转换为方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0
虽然我知道函数转换成方程可以理解成函数值得0的时候x的取值,但是这里并不是
这里到底是个什么情况呢
貌似是把x看作已知,把y看作未知,重新整理成关于y的函数。应该重新整理成函数?答案里是方程啊。说实话,答案整理出这东西是干嘛用的我一点也不知道。我脑海中判别式法就是把x当作y,y当作x就能解了,不知道为什么这题这么复杂。

第二点

构造(y-2)x²-ax+y-b=0方程之后,x∈R,Δ≥0
这地方理解不了
我想的是“Δ≥0求的是存在这样的x使得方程成立,可是成立之后的y值不一定属于值域[1,3]
Δ≥0求得的y的范围应该是包含[1,3]或者真包含[1,3]吧?
【难道是因为x定义域为R,而定义域为R的f(x)值域为[1,3]?所以Δ≥0的解=[1,3]?】

第三点

为什么[1,3]是两根
韦达定理的根是(y-2)x²-ax+y-b=0的根吧?
不是4y²-4(2+b)y+8b-a²=0的根吧?
而且假如y的值域是[1,+∞)那根又是多少?
为什么而4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0 等价于1≤y≤3

第四点

为什么分类讨论
而分类讨论之后y=2时。a=±2.b=2.x=0怎么就满足题意了? x等于几都行?只要x不无解就满足? 既然是分类讨论。为什么第二个分类变成了验算第一个分类的了?按理来说应该一个分类求出来一个区域,然后这两个区域取并集才对啊?
第二个分类没办法自己解出a,b的值吗?
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zbhmzh
2012-02-19 · 知道合伙人教育行家
zbhmzh
知道合伙人教育行家
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毕业于合肥学院,机械制造专业。硕士学位。现为高校教师。从小爱好数学,现数学辅导团团长。

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你好!
我来帮你解答下你的问题
第一点
函数y=(2x²+ax+b)/ (x²+1)两边同乘以(x²+1),再移项合并得
(y-2)x²-ax+y-b=0
为了上式有解方程要的判别式要大于等于0
△=b²-4ac=a²-4(y-b)(y-2)≥0
后式展开再乘以-1得
4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0
上不等式为二次函数,图像开口向上,小于等于0的区域是函数图像与X轴的交点以下的部分,Y的值域是(1,3),也就是说在值域内均满足上不等式,(1,3)点就是函数图像与X轴的交点。

你的问题
(y-2)x²-ax+y-b=0 转换为方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0
不是转换而是列根的判别式。
(1,3)是y的范围,不是x的,不能把(1,3)变成x1,x2应用于韦达定理
y的范围在本题中不可能为无穷大。本题理论上当X趋于无穷大时,y趋于2。

为什么4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0 等价于1≤y≤3
y的值域应该恰巧满足上面的不等式

为什么分类讨论
(y-2)x²-ax+y-b=0
因为y-2≠0时,上式为关于x的二次方程,
y-2=0是,上式为一次方程
讨论结果两者取交集,不是并集。

希望解答了你的疑惑,有问题就再追问,也可以HI我!
usvjvpixg3
2012-02-18
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vv已知函数f(x)=2x^2+ax+b/ x^2+1的值域为〔1,3〕求a,b的值
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govbenben1996
2012-02-19 · TA获得超过7771个赞
知道大有可为答主
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y=2x²+ax+b/ x²+1,
(y-2)x²-ax+y-b=0

y-2≠0时因为x∈R,,即a²-4(y-b)(y-2)≥0
4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0
b+2=4 (8b-a²)/4=3
a=±2 b=2
(当y=2时ax+b=2,当a=2,b=2;或a=-2,b=2
,x=0满足题意所以a=±2,b=2
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elysir
2012-02-21 · TA获得超过3.9万个赞
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【简单解法】
f(x)=2x^2+ax+b/ x^2+1=2+(ax+b-2)/(x^2+1)

-1<=(ax+b-2)/(x^2+1)<=1

-1<=2x/(x^2+1)<=1
∴ax+b-2=2x
∴a=2,
b-2=0,b=2
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jp飞翔
2012-02-19 · TA获得超过238个赞
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第一点
函数y=(2x²+ax+b)/ (x²+1)两边同乘以(x²+1),再移项合并得
(y-2)x²-ax+y-b=0
为了上式有解方程要的判别式要大于等于0
△=b²-4ac=a²-4(y-b)(y-2)≥0
后式展开再乘以-1得
4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0
上不等式为二次函数,图像开口向上,小于等于0的区域是函数图像与X轴的交点以下的部分,Y的值域是(1,3),也就是说在值域内均满足上不等式,(1,3)点就是函数图像与X轴的交点。

你的问题
(y-2)x²-ax+y-b=0 转换为方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0
不是转换而是列根的判别式。
(1,3)是y的范围,不是x的,不能把(1,3)变成x1,x2应用于韦达定理
y的范围在本题中不可能为无穷大。本题理论上当X趋于无穷大时,y趋于2。

为什么4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0 等价于1≤y≤3
y的值域应该恰巧满足上面的不等式

为什么分类讨论
(y-2)x²-ax+y-b=0
因为y-2≠0时,上式为关于x的二次方程,
y-2=0是,上式为一次方程
讨论结果两者取交集,不是并集。
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