Question

已知函数f(x)=2x^2+ax+b/ x^2+1的值域为〔1,3〕求a,b的值

答案
因为y=2x²+ax+b/ x²+1，所以（y-2）x²-ax+y-b=0
（1）当y-2≠0时因为x∈R，Δ≥0，即a²-4(y-b)(y-2)≥0
而4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0
又因为1≤y≤3 所以1,3是关于y=方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0的两根
由根与系数的关系，得 b+2=4 (8b-a²)/4=3
解得 a=±2 b=2
（2）当y=2时ax+b=2，当a=2，b=2；或a=-2，b=2时，x=0满足题意所以a=±2，b=2

【对于这道题的几点疑问。希望得到解答】

第一点

函数y=2x²+ax+b/ x²+1 （y-2）x²-ax+y-b=0 转换为方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0
虽然我知道函数转换成方程可以理解成函数值得0的时候x的取值，但是这里并不是
这里到底是个什么情况呢
貌似是把x看作已知，把y看作未知，重新整理成关于y的函数。应该重新整理成函数？答案里是方程啊。说实话，答案整理出这东西是干嘛用的我一点也不知道。我脑海中判别式法就是把x当作y，y当作x就能解了，不知道为什么这题这么复杂。

第二点

构造（y-2）x²-ax+y-b=0方程之后，x∈R，Δ≥0
这地方理解不了
我想的是“Δ≥0求的是存在这样的x使得方程成立，可是成立之后的y值不一定属于值域[1，3]
Δ≥0求得的y的范围应该是包含[1，3]或者真包含[1，3]吧？
【难道是因为x定义域为R，而定义域为R的f（x）值域为[1，3]？所以Δ≥0的解=[1，3]？】

第三点

为什么[1,3]是两根
韦达定理的根是（y-2）x²-ax+y-b=0的根吧?
不是4y²-4(2+b)y+8b-a²=0的根吧？
而且假如y的值域是[1，+∞）那根又是多少？
为什么而4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0 等价于1≤y≤3

第四点

为什么分类讨论
而分类讨论之后y=2时。a=±2.b=2.x=0怎么就满足题意了？ x等于几都行？只要x不无解就满足？ 既然是分类讨论。为什么第二个分类变成了验算第一个分类的了？按理来说应该一个分类求出来一个区域，然后这两个区域取并集才对啊？
第二个分类没办法自己解出a，b的值吗？

Answer 1

你好！
我来帮你解答下你的问题
第一点
函数y=（2x²+ax+b）/ （x²+1）两边同乘以（x²+1），再移项合并得
（y-2）x²-ax+y-b=0
为了上式有解方程要的判别式要大于等于0
△=b²-4ac=a²-4(y-b)(y-2)≥0
后式展开再乘以-1得
4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0
上不等式为二次函数，图像开口向上，小于等于0的区域是函数图像与X轴的交点以下的部分，Y的值域是（1，3），也就是说在值域内均满足上不等式，（1，3）点就是函数图像与X轴的交点。

你的问题
（y-2）x²-ax+y-b=0 转换为方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0
不是转换而是列根的判别式。
（1，3）是y的范围，不是x的，不能把（1，3）变成x1，x2应用于韦达定理
y的范围在本题中不可能为无穷大。本题理论上当X趋于无穷大时，y趋于2。

为什么4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0 等价于1≤y≤3
y的值域应该恰巧满足上面的不等式

为什么分类讨论
（y-2）x²-ax+y-b=0
因为y-2≠0时，上式为关于x的二次方程，
y-2=0是，上式为一次方程
讨论结果两者取交集，不是并集。

希望解答了你的疑惑，有问题就再追问，也可以HI我！

Answer 2

vv已知函数f(x)=2x^2+ax+b/ x^2+1的值域为〔1,3〕求a,b的值

Answer 3

y=2x²+ax+b/ x²+1，
（y-2）x²-ax+y-b=0

y-2≠0时因为x∈R，，即a²-4(y-b)(y-2)≥0
4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0
b+2=4 (8b-a²)/4=3
a=±2 b=2
（当y=2时ax+b=2，当a=2，b=2；或a=-2，b=2
，x=0满足题意所以a=±2，b=2

Answer 4

【简单解法】
f(x)=2x^2+ax+b/ x^2+1=2+（ax+b-2)/(x^2+1)
则
-1<=（ax+b-2)/(x^2+1)<=1
而
-1<=2x/(x^2+1)<=1
∴ax+b-2=2x
∴a=2,
b-2=0,b=2

Answer 5

第一点
函数y=（2x²+ax+b）/ （x²+1）两边同乘以（x²+1），再移项合并得
（y-2）x²-ax+y-b=0
为了上式有解方程要的判别式要大于等于0
△=b²-4ac=a²-4(y-b)(y-2)≥0
后式展开再乘以-1得
4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0
上不等式为二次函数，图像开口向上，小于等于0的区域是函数图像与X轴的交点以下的部分，Y的值域是（1，3），也就是说在值域内均满足上不等式，（1，3）点就是函数图像与X轴的交点。

你的问题
（y-2）x²-ax+y-b=0 转换为方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0
不是转换而是列根的判别式。
（1，3）是y的范围，不是x的，不能把（1，3）变成x1，x2应用于韦达定理
y的范围在本题中不可能为无穷大。本题理论上当X趋于无穷大时，y趋于2。

为什么4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0 等价于1≤y≤3
y的值域应该恰巧满足上面的不等式

为什么分类讨论
（y-2）x²-ax+y-b=0
因为y-2≠0时，上式为关于x的二次方程，
y-2=0是，上式为一次方程
讨论结果两者取交集，不是并集。