Question

在平面直角坐标系XOY中,直线l1过点A(1,0)且与y轴平行.

直线l2过点B（0，2）且与x轴平行.直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数 （k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．问：是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由

要具体过程，拜托啦后天要交了！！

Answer 1

存在
∵当反比例函数过点P时K=2，且此时以M、E、F为顶点不能构建三角形
∴分两种情况讨论
当k＜2时，（作图，图我就不画了）由图可得
以M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等，只可能为△MEF≌△PEF，EF为公共边，作AC⊥y轴
易得△CHM∽△MBE，BM/FC=EM/CM
∵CH=1，EM=PE=1-k/2 ，CM=PE=2-k
∴BM=（1-k/2）/2-k，解得BM=1/2
∴据勾股定理得（1-k/2）²=（k/2）²+（1/2）²，解得k=3/4
∴此时y=3/4x , E坐标为（3/8,2）
当K＞2时，（同样是作图）
由图可得，只能是△MEF≌△PEF，作PQ⊥y轴于D
同理得BM/FD=EM/FM
∵DF=1，EM=PF=k-2，FM=FE=k/2-1
∴BM=（k-2）/（k/2-1），解得BM=2
∴据勾股得 （k-2）²=（k/2）²+2² ，解得k1=0（舍去），k2=16/3
∴此时y=16/3x ，E坐标为（8/3,2）
综上所述，符合条件的E点坐标有 E1（3/8,2）， E2（8/3，2）

Answer 2

存在
∵当反比例函数过点P时K=2，且此时以M、E、F为顶点不能构建三角形
∴分两种情况讨论
当k＜2时，（作图，图我就不画了）由图可得
以M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等，只可能为△MEF≌△PEF，EF为公共边，作AC⊥y轴
易得△CHM∽△MBE，BM/FC=EM/CM
∵CH=1，EM=PE=1-k/2 ，CM=PE=2-k
∴BM=（1-k/2）/2-k，解得BM=1/2
∴据勾股定理得（1-k/2）²=（k/2）²+（1/2）²，解得k=3/4
∴此时y=3/4x , E坐标为（3/8,2）
当K＞2时，（同样是作图）
由图可得，只能是△MEF≌△PEF，作PQ⊥y轴于D
同理得BM/FD=EM/FM
∵DF=1，EM=PF=k-2，FM=FE=k/2-1
∴BM=（k-2）/（k/2-1），解得BM=2
∴据勾股得 （k-2）²=（k/2）²+2² ，解得k1=0（舍去），k2=16/3
∴此时y=16/3x ，E坐标为（8/3,2）
综上所述，符合条件的E点坐标有 E1（3/8,2）， E2（8/3，2）

Answer 3

（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；
（2）当k＞2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE= 14k2-k+1，根据S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；
（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；
②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，
BMFQ=
EMFM
，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．
解：（1）若点E与点P重合，则k=1×2=2；

（2）当k＞2时，如图1，
点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，
∵PF⊥PE，
∴S△FPE=12PE•PF=12（k2-1）（k-2）=14k2-k+1，
∴四边形PFGE是矩形，
∴S△PFE=S△GEF，
∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE=k2•k-k2-（14k2-k+1）-k2=14k2-1
∵S△OEF=2S△PEF，
∴14k2-1=2（14k2-k+1），
解得k=6或k=2，
∵k=2时，E、F重合，
∴k=6，
∴E点坐标为：（3，2）；

（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，
①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，
∵△FHM∽△MBE，
∴BMFH=EMFM，
∵FH=1，EM=PE=1-k2，FM=PF=2-k，
∴BM1=1-
k22-k，BM=12，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
∴（1-k2）2=（k2）2+（12）2，
解得k=34，此时E点坐标为（38，2），

②当k＞2时，如图3，
只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，BMFQ=EMFM，
∵FQ=1，EM=PF=k-2，FM=PE=k2-1，
∴BM1=k-2k2-1，BM=2，
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，
∴（k-2）2=（k2）2+22，解得k=163或0，但k=0不符合题意，
∴k=163．
此时E点坐标为（83，2），

∴符合条件的E点坐标为（38，2）（83，2）．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形有关分数。。因为网页问题。。