Question

已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB

Answer 1

(1) ∵△ABC中AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∵OM=OB
∴∠OMB=∠OBM
∵BM平分∠ABC
∴∠MBE=∠MBO=∠OMB
∴OM//BC
∴OM⊥AE
∴AE与⊙O相切

(2) 连接FM
∴△BMF是直角三角形
FB=BM/cos∠FBM
∵AE⊥BC
∴在Rt△BME中，BM=BE/cos∠EBM
∵BM平分∠ABC
∴∠EBM=∠FBM=1/2∠ABC
∴FB=(BE/cos∠EBM)/cos∠FBM=BE/cos^2(1/2∠ABC)
∴FB=BE/{[1+cos(∠ABC)]/2}=2*BE/(1+cos∠ABC)
∵△ABC中AB=AC，AE是角平分线
∴∠ABC=∠ACB=∠C，AE平分BC
∴cos∠ABC=cos∠C=3/5，BE=1/2*BC=1
∴⊙O直径FB=2*1/(1+3/5)=5/4