Question

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且DE⊥DF.

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且DE⊥DF.求证：AE²+BF²=EF².
如图

Answer 1

证明：碰弊
作DG⊥BC于G,DH⊥AC于H
设AB=c,AC=b,BC=a,GF=x,
则蚂余:CD=AD=BD=c/2
DH=BG=CG=a/2,DG=AH=CH=b/2
△DEH~△DFG,EH=DH*FG/DG=a/2*x/(b/2)=ax/b
AE²+BF²=(AH-EH)²+(BG+GF)²=(b/2-ax/b)²+(a/2+x)²=b²闷吵滚+a²x²/b²+a²/4+x²
EF²=CE²+CF²=(CH+EH)²+(CG-GF)²=(b/2+ax/b)²+(a/2-x)²=b²+a²x²/b²+a²/4+x²
所以AE²+BF²=EF².

Answer 2

证明：过点A作AM∥BC，交衡伍FD延长线于点M，
连接EM．
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．游扮
∴AM=BF，MD=DF．
又神拦灶DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2

Answer 3

已派裂袜知：如图尘激，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E，源隐F分别在AC，BC上，且DE⊥DF.
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