Question

求y=x^3过点P(1,1)的切线方程

Answer 1

解：设为切点(a,a³)
由导函数y'=3x²
可得斜率K=3a²

方法一:：
因为切线过(1,1)点
设切线方程(用点斜式较为方便)为：
y-1=k(x-1)
即
y-1=3a²
代入切点(a,a³)
1-a³=3a²(1-a)
移向得
3a²-3a³=1-a³
2a³-3a²+1=0
2a³-2a²-a²+1=0
2a²(a-1)-(a+1)(a-1)=0
(a-1)(2a²-a-1)=0
再分解因式
解得
a1=1
a2=-1/2

所以，一个切点是(1,1)，但不过(-1/2,-1/8)；
另一个切点是(-1/2,-1/8)，而且刚好过(1,1)
所以切线方程有两条，前往不能漏掉，要细心计算，提高运算能力。
综上所述，切线方程为3x-y-2=0 或3x-4y+1=0

方法二
设切线方程为
y-a³=k(x-a)
即为y-a³=3a²(x-a)
过(1,1)点
1-a³=3a²(1-a)
同上一样解方程就可以了。

本题考点：用导函数来计算切线方程。
正如你说的“过点P(1,1)”和在"P(1,1)上”是不同的，
前者(1,1)不是切点，后者是切点。
所以要先求出切点。
而切点是在原方程y=x^3上的。

希望对你有帮助，最后祝你学业进步。

Answer 2

y'=3x²
x=1,则斜率k=y'=3
所以是3x-y-2=0

追问

错了吧,我记得答案有两个的.
好像有一个是切点为(-1/2,-1/8),而且过(1,1)点斜率为3/4的方程吧.
"过点P(1,1)"和在"P(1,1)上"是不同的,
前者(1,1)不是切点,后者是切点.
不过我只知道答案,我希望你能给我详细过程,谢谢!

追答

切点(a,a³)
斜率3a²
y-a³=3a²(x-a)
过P
1-a³=3a²(1-a)
解得a=-1/2

追问

谢谢,不过1-a³=3a²(1-a)怎么解呢?
而且又如何解出你之前说的那个答案呢?
是不是1-a³=3a²(1-a)有两个答案呢?
一个是1,另一个是-1/2呢?
能不能告诉我怎么解方程,谢谢你!

追答

公因式1-a
自己做

追问

1-a³怎么分解出1-a?

追答

采纳我，重新问

Answer 3

y=3x-2

追问

错了吧,我记得答案有两个的.
好像有一个是切点为(-1/2,-1/8),而且过(1,1)点斜率为3/4的方程吧.
"过点P(1,1)"和在"P(1,1)上"是不同的,
前者(1,1)不是切点,后者是切点.
不过我只知道答案,我希望你能给我详细过程,谢谢!

Answer 4

y=x^3
f‘(x)=3x^2
斜率k=f'(1)=3*1^2=3
y=3x+b
将（1,1）代入：
1=3*1+b
b=-2
切线方程：y=3x-2

追问

错了吧,我记得答案有两个的.
好像有一个是切点为(-1/2,-1/8),而且过(1,1)点斜率为3/4的方程吧.
"过点P(1,1)"和在"P(1,1)上"是不同的,
前者(1,1)不是切点,后者是切点.
不过我只知道答案,我希望你能给我详细过程,谢谢!

追答

解：过(1,1)点的切线方程，该点不是切点，因为不在原函数曲线上，所以设切点(m,n), 其中
n=m^3
y'=3x^2
y-n=3m^2(x-m)
(1,1)
1-n=3m^2(1-m)
1-n=3m^2-3m^2
n=1
m=0或m=1
y-1=3(x-1)
y=3x-2
y-1=0
y=1

所以所求的切线方程为y=3x-2
或y=1