Question

已知函数f(x)=[4x^2+1]^1/2除以x，正数列{an}中，A1=1，An+1=1/f(an)。 (n属于整数...

已知函数f(x)=[4x^2+1]^1/2除以x，正数列{an}中，A1=1，An+1=1/f(an)。

(n属于整数)。
(1)求数列{an}的通项公式
(2)在数列{bn}中，bn=(an)^2/(3n-1)an^2+n，若Sn为数列{bn}的前n项和，求证:Sn<1/2
经过我的计算，第二问可化简为:已知数列4n^2-1分之1，求该数列的和Sn，并求证Sn<1/2。我想第二问大家应该能看懂，望各路大侠指点，谢谢了。

Answer 1

(1)a(n+1)=an/√(4an²+1)
a(n+1)²=an²/(4an²+1)
1/a(n+1)²=4+1/an²
故数列{1/an²}为等差数列，公差为4
1/an²=4n-3
an=√(1/(4n-3))
(2)1/(4n²-1)=1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（裂项相消法）
Sn=1/2[(1-1/3)+(1/3-1/5)+…+(1/(2n-1)-1/(2n+1))]=1/2(1-1/(2n+1))<1/2