Question

一道初中数学综合题，求高手来解

如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆O分别交x轴于A,B,C,D四点，抛物线y=x^2+bx+c经过点C且与直线AC只有一个公共点
（1）求直线AC的解析式
（2）求抛物线的解析式
（3）点P为（2）中抛物线上的点，由点P作x轴的垂线，垂足为Q，问：此抛物线上是否存在这样的点P，使△PQB∽△ADB？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意可知A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），D（0，1），

设过A、C两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），

把A（-1，0），C（0，-1）代入得{-k+b=0b=-1，

解得{k=-1b=-1，

故直线AC的解析式为y=-x-1；

（2）∵抛物线过C（0，-1），

∴x2+（b+1）x=0，

∵直线AC与抛物线只有一个公共点C，

∴方程x2+（b+1）x=O有两个相等实数根，

即△=0，

∴b1=b2=-1，

∴抛物线解析式为y=x2-x-1；

（3）假设存在符合条件的点P，

设P点坐标为（a，a2-a-1），则Q（a，0），

∵△ADB为等腰直角三角形，△PQB∽△ADB，

∴△PQB为等腰直角三角形，又PQ⊥QB，

∴PQ=QB即|a2-a-1|=|a-1|，

a1=0a2=2a3=2a4=-2，

∴存在符合条件的点P，共有四个，

分别为P1（O，-1）、P2（2，1）、P3（2，1-2）、P4（-2，1+2）．

解析：（1）因为⊙O的半径为1，所以可知A、B、C、D四点的坐标，根据A、C两点的坐标用待定系数法即可求出直线AC的解析式．

（2）因为C点坐标为（0，-1），抛物线过C点，所以c=-1，将y=-x-1代入解析式y=x2+bx-1得x2+（b+1）x=0，因为抛物线与直线只有一个交点，故判别式△=0，可求得b的值；

（3）假设存在符合条件的点P，根据相似三角形的性质，判断出PQ=QB，列出关于P点坐标的表达式，即可解答．

Answer 2

楼楼请采纳！！

Answer 3

A(-1,0),C(0，-1),Y=-X-1
y=x^2-2x-1

Answer 4

原来以为自己的数学水平很不错，没想到扔了四五年公式都忘记差不多了！