Question

已知a>0,函数f(x)=(x^2-2ax)e^x,且f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围

Answer 1

f(x)=x(x-2a)e^x f(x)只有两个零点:x=0和x=2a
x<0 或x>2a 时f(x)>0
0<x<2时 f(x)<0
令f’(x)=0 解得x=a-1±√(a^2+1) f(x)有两个极值点。
a-1-√(a^2+1)<-1 左面极值点在[-1，1]之外
令a-1+√(a^2+1) ≥1即能使其极值点不在(-1，1)内。
得a≥3/4
因此f(x)在[-1,1]上是单调函数,则只能是单调减少,此时a的取值范围a≥3/4即为所求。