Question

在梯形中，AD平行BC，对角线AC垂直BD，若AD为3，BC为7，则梯形ABCD面积的最大值为？

Answer 1

如图设梯形的面积为S,对角线AC、BD相交于O

，∵AD平行BC

∴∠ADB=∠CBD=∠α

S=(AD*BDsinα+BC*BD*sinα)2=(3*BDsinα+7*BD*sinα)/2=5BDsinα

又∵对角线AC垂直BD

BD=BO+OD=ADcosα+BCcosα=(3+7)cosα=10cosα

则S=5BDsinα=5*10*cosα*sinα=25sin(2α)

当sin(2α)为最大值 1时，S有最大值

S最大=25

Answer 2

作DE//AC交BC延长线于E，于是DE=AC，DE⊥BD， BE=10 ，S 梯形ABCD=S Rt三角形DBE

即 Rt三角形DBE的最大面积为 等腰Rt三角形 ，即腰长为 10*2/2 =5√2

故即 梯形ABCD面积的最大值 =1/2 *（5√2)^2=25

Answer 3

上底和下底确定后，梯形的面积决定于其高的长度。不妨设高为H，我们先来考虑等腰梯形这一特殊情形。由于对角线垂直，故高H长为5.此时梯形面积为25.
证明：不妨以B点为原点、BC方向为X轴正方向建立平面直角坐标系。则B（0，0），C（7，0），A（x,y）,D(x+3,y).y值即为梯形的高。AC垂直BD,AC与BD所在直线斜率乘积为－1，故可得到方程：y/(x+3) * y/(x-7) =-1,整理可得到：y²=-x²+4x+21.当x=2时，y可取到最大值5.

追问

AC与BD所在直线斜率乘积为－1
对不起，初中生不太懂，可否解释一下

追答

证2：AB²＝X²+Y²，CD²＝（X-4)²+y²
设AC垂直BD于O，则OA²+OD²＝AD²=9，OB²+OC²＝BC²=49,OA²+OD²+OB²+OC²＝AB²+CD²=58,
X²+Y²+（X-4)²+y²=58,整理得y²=-x²+4x+21.当x=2时，y可取到最大值5。