Question

1.用一个长方形硬纸板，分别以长边和短边所在的直线为轴旋转一周，分别得到圆柱体。算一算，哪个体积大?

2.用一张长18.84厘米，宽12.56厘米的长方形纸，围成一个圆柱，可以怎样围？怎样围圆柱的容积最大？为什么？

Answer 1

1.如图，假设长方形的长为b，宽为a，b＞a

以a为轴的体积为:

底面积为：лb^2，高为a

所以体积为V1=лb^2a

以b为轴的体积为:

底面积为：лa^2，高为b

所以体积为V2=лa^2b

V1-V2=лb^2a-лa^2b=abл（b-a）

因为b＞a

所以V1-V2=abл（b-a）＞0

所以以短边为轴旋转一周的体积最大。

2.同样假设长方形的长为b，宽为a，b＞a

以a做为圆柱体的高度围成的体积为：

底面积为л（b/2л）^2,高为a

所以体积为V3=л（b/2л）^2a

以b做为圆柱体的高度围成的体积为：

底面积为л（a/2л）^2,高为b

所以体积为V4=л（a/2л）^2b

V3-V4=л（b/2л）^2a-л（a/2л）^2b=(ab^2-a^2b)/(4л)=ab(b-a)/(4л)

因为b＞a

所以V3-V4＞0

即以短边为高围成的圆柱体的体积最大

将a=12.56 b=18.84代入V3得圆柱体体积为1114.529184立方厘米