Question

已知抛物线y=x²+mx-3/4m²（m>0）与x轴交于A、B两点

（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若1／OB－1／OA=2／3(O是坐标原点)，求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴的交于点C,若△ABC是直角三角形,求△ABC的面积

Answer 1

（1）y=x^2+mx-3/4m^2
=x^2+mx+1/4m^2-m^2
=(x+1/2m)^2-m^2
抛物线对称轴为x=-1/2m
由m>0知-1/2m<0,即对称轴在y轴左侧
(2)y=x^2+mx-3/4m^2
=(x+3/2m)(x-1/2m)
由1/OB-1/OA=2/3>0可知，Xa<Xb
即A(-3/2m,0), B(1/2m,0)
带入1/OB-1/OA=2/3得 2/m+2/3m=2/3
解得m=4,则抛物线解析式为y=x^2+4x-3
(3)由题意知C(0,-3/4m^2)
由△ABC是直角三角形可知（抱歉画不了图，自己画一下看看）△AOC∽△COB
从而列出比例式OA/OC=OC/OB
代入OA=3/2m,OB=1/2m,OC=3/4m^2,化简得
m^2=4/3,解得m=2√3/3(舍负)
则OA=√3,OB=√3/3,OC=1
∴S△ABC=1/2AB*OC=1/2*(4√3/3)*1=2√3/3

Answer 2

（1）y=x^2+mx-3/4m^2
=x^2+mx+1/4m^2-m^2
=(x+1/2m)^2-m^2
抛物线对称轴为x=-1/2m
由m>0知-1/2m<0,即对称轴在y轴左侧
(2)y=x^2+mx-3/4m^2
=(x+3/2m)(x-1/2m)
由1/OB-1/OA=2/3>0可知，Xa<Xb
即A(-3/2m,0), B(1/2m,0)
带入1/OB-1/OA=2/3得 2/m+2/3m=2/3
解得m=4,则抛物线解析式为y=x^2+4x-3
(3)由题意知C(0,-3/4m^2)
由△ABC是直角三角形可知△AOC∽△COB
从而列出比例式OA/OC=OC/OB
代入OA=3/2m,OB=1/2m,OC=3/4m^2,化简得
m^2=4/3,解得m=2√3/3(舍负)
则OA=√3,OB=√3/3,OC=1
∴S△ABC=1/2AB*OC=1/2*(4√3/3)*1=2√3/3