Question

点ABCD是以AB为直径的圆O上四个点,C是劣弧BD的中点,AD交BD于点E,AE=2,EC=1 1.求证：△DEC～△ADC

2.延长AB到H，是BH=OB，求证：CH是⊙O的切线
2.延长AB到H，使BH=OB，求证：CH是⊙O的切线 （1.以会，重点求证2）

Answer 1

证明：
∵AB是直径
∴∠ACB=90º
∴∠ACE=90º
∵AE=2，EC=1
∴∠CAE=30º【30º角所对的直角边等于斜边的一半】
∵弧BC=弧CD
∴∠BAC=∠CAD=30º
∴∠BOC=60º【同弧所对的圆心角等于2倍的圆周角】
∵OB=OC
∴⊿OAB是等边三角形
∴∠OBC=∠OCB=60º
BC=OB=BH
∴∠H=∠BCH
∵∠OBC=∠H+∠BCH=2∠BCH=60º
∴∠BCH=30º
∴∠OCH=∠OCB+∠BCH=60º+30º=90º
∴CH是圆O的切线

追问

∴∠ACE=90º
∠ACE是直线啊？
∴∠CAE=30º【30º角所对的直角边等于斜边的一半】
这也是直线啊？
图不一样吧？本题A、C、E在一条直线上

追答

我看错了，也画错了，
但按你说的，应该是AC交BD于点E了，而你是“AD交BD于点E。”是错的。
证明：
∵弧CD=弧BC
∴∠DAC=∠CDB【同圆内，等弧所对的圆周角相等】
又∵∠DCA=∠ECD【公共角】
∴⊿DEC∽⊿ADC（AA‘）
∴AC/CD=CD/CE
转化为CD²=AC×CE=（2+1）×1=3
∴CD=√3
BC=√3【弧相等，弦相等】
∵AB是直径
∴∠ACB=90º
∴AB=√（AC²+BC²）=2√3
∴OB=OC=BH=BC=√3
∴⊿OBC是等边三角形
∴∠OCB=∠OBC=60º
∠BCH=∠H=½ ∠OBC=30º
∴∠OCH=∠OCB+∠BCH=90º
∴CH是⊙O的切线