Question

我有一道有关导数的题不明白：设函数f(x)=ax三次方-3x+1(x属于R),若对于任意x属于【-1，1】，都有f（x）大

于0成立，求实数a的取值范围？？？拜托 谢了

Answer 1

设函数f(x)=ax三次方-3x+1(x属于R),若对于任意x属于【-1，1】，都有f（x）大于0成立，求实数a的取值范围？？？
个人理解是f(x)在[-1,1]在最小值是大于0的。所以解答如下：
f'(x)=3ax²-3,x∈[-1,1]，
当a<=1时，f'(x)<=0,则f(x)在R上为减函数。f(x)在[-1,1]在最小值fmin=f(1)=a-2>0,解出a>2.矛盾，此时无解。
当a>1时，令f‘(x)=3ax²-3=0，则有x1=1/(根号a),x2=-1/(根号a).得到，x1,x2为f(x)的两个极值，
由f(x)=ax^3-3x+1,a>1可知，x2为极大值，x1为极小值。
则f(x)在[-1,1]在最小值=f(x1)>0，推出，f(x1)=a*[1/(根号a)]^3-3*[1/(根号a)]+1>0,解出a>4.
所以，实数a的取值范围是(4,+∞)

Answer 2

不用导数
f(x)≥0总成立，即：ax^3≥3x-1
当x=0时，显然成立,对任意的a都成立
当x>0时，a≥3/x^2-1/x^3=1/x^2*(3-1/x)
因为3=1/(2x)+1/(2x)+(3-1/x)≥3(3次根号下1/(4x)^2*(3-1/x)
(当且仅当1/(2x)=3-1/x,x=3/8时取等号）
得：1/x^2*(3-1/x)≤4, 即1/x^2*(3-1/x)的最大值是4,故a≥4
当x<0时 a≤3/x^2-1/x^3
因为： 3/x^2是增的，1/x^3是减的，3/x^2-1/x^3是增的
故当x=-1时，3/x^2-1/x^3的最小值是4
故a≤4
综上，只有a=4时才能使f(x)≥0总成立

Answer 3

f'(x)=3ax²-3,若对于任意x属于【-1，1】，都有f（x）大 于0成立，则有3ax²>3在x属于【-1，1】恒成立,即a>x²恒成立，
所以a>1

追问

好 谢了

追答

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