Question

阅读以下求1+2+3+...+n的值的过程： 因为（n+1）²-n²=2n+1， n²-（n-1）²=2（n-1）+1

以上各式相加得（n+1）²-1=2（1+2+...+n）+n，
所以1+2+3+...+n=（n²+2n-n）/2=n（n+1）/2
类比以上过程，求1²+2²+3²+...+n²的值。 （急求！！各位拜托了，详细过程，谢谢）

Answer 1

(n+1)³-(n-1)³=6n²+2
所以
6×1²+2=2³-0³
6×2²+2=3³-1³
6×3²+2=4³-2³
6×4²+2=5³-3³
....................
6(n-1)²+2=n³-(n-2)³
6n²+2=(n+1)³-(n-1)³
相加，得
6(1²+2²+3²+...+n²)=(n+1)³+n³-1
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)[(2n+1)/6

Answer 3

1到n的平方和是1/6[n*(n+1)(2n+1)]

追问

能写一下具体过程吗？谢啦，急需