Question

已知椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y^2=4x的焦点，

M是C1、C2在第一象限的交点，且|MF2|=5/3.
(1)求椭圆C1的方程。
(2)已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，顶点B，D在直线7x-7y+1=0上，求直线AC的方程。

Answer 1

1
y^2=4x的焦点为 F2（1，0）|MF2|=5/3.
所以， F2到准线x=-1的距离也为5/3,
设M（x,y)，则x+1=5/3,x=2/3,y^2=8/3
椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)
焦点F1(-1,0), F2（1，0）
2a=|MF1|+|MF2|
=√[(2/3+1)^2+8/3]+√[(2/3-1)^2+8/3]=7/3+5/3=4
a=2,c=1,b^2=3
椭圆C1的方程：x^2/4+y^2/3=1
2
依题意：AC⊥BD,kBD=1
AC的斜率k=-1
设AC:y=-x+m代入x^2/4+y^2/3=1
得：3x^2+4(-x+m)^2-12=0
即:7x^2-8mx+4m^2-12=0
Δ=64m^2+84>0
设A(x1,y1),C(x2,y2),AC中点M（x0,y0)
则：2x0=x1+x2=8m/7,x0=4m/7
y0=-4m/7+m=3m/7, M (4m/7,3m/7)
M (4m/7,3m/7)在BD上，将坐标代入
4m-3m+1=0==>m=-1
直线AC的方程:y=-x-1即x+y+1=0

Answer 2

第一小题，通过焦点到抛物线上点的距离等于点到准线距离算出M横坐标，代入方程得出M坐标，再代入椭圆方程，又焦点已知，可得出椭圆方程。
第二小题，已知直线的法向量即BD的方向向量，设出AC联立或者点差法得到中点，中点在已知直线上，构成等式得出AC方程