Question

f(x)=1/3x^3-x^2+ax-5在区间[-1,2]上有反函数，则a的范围是？求过程。

Answer 1

f '(x)=x^2-2x+a 。
因为函数在 [-1，2] 上有反函数，因此f(x)在此区间上单调，
所以，在 [-1，2] 上恒有 f '(x)>=0 或恒有 f '(x)<=0 。
由于 f '(x)=(x-1)^2+a-1 关于x=1对称，
所以在 [-1，2] 上，当x=1时f '(x)有最小值 f '(1)=a-1 ，当 x=-1 时f '(x)有最大值 f '(-1)=a+3，
因此 a-1>=0 或 a+3<=0 ，
解得 a<=-3 或 a>=1 。