Question

已知平面上向量OA=（1,7） 向量OB=（5,1） 点M（2x,x) 当MA。MB取最小值时 求OM的坐标

已知平面上向量OA=（1,7） 向量OB=（5,1） 点M（2x,x) 当向量MA.向量MB取最小值时 求向量OM的坐标 （2） 当点M满足题1中的条件和结论时求cos角AMB的值

Answer 1

(1)是不是求MA·MB的最小值？

MA·MB
=(OA-OM)(OB-OM)
=[(1,7)-(2x,x)][(5,1)-(2x,x)]
=(1-2x,7-x)(5-2x,1-x)
=(1-2x)(5-2x)+(7-x)(1-x)
=5x²-20x+12
此二次函数开口向上，对称轴为x=-b/2a=20/10=2
即x=2时有函数有最小值：
MA·MB=5*2²-20*2+12=-8

所以向量OM坐标为(4,2)

(2)
|MA|=|OA-OM|=|(1,7)-(4,2)|=|(-3,5)|=sqrt34
|MB|=|OB-OM|=|(5,1)-(4,2)|=|(1,-1)|=sqrt2

MA·MB=-8
MA·MB=|MA|·|MB|·cos∠AMB=sqrt34·sqrt2·cos∠AMB=2sqrt17·cos∠AMB
所以：
2sqrt17·cos∠AMB=-8
即：
cos∠AMB=-4sqrt17/17

∠AMB余弦值大约是：-0.97014250014533189407562584846449
∠AMB的角度大约是：165.96375653207352141710767984072度