Question

求微分方程√（1+x^2)*sin(2y)*y'=2x*sin(y)^2+e^(2√(1+x^2))通解

Answer 1

如果等式右边是(siny)^2而不是sin(y^2)，那么可以解，否则不会做。
令根号(1+x^2)＝z，dz/dx=x/z，－cos(2y)=g，则dg/dz＝dg/dx*dx/dz＝2sin(2y)*dy/dx*z/x，代入得
x/2*dg/dz=2x*(1+g)/2+e^(2z)，即dg/dz=2g+2+2e^(2z)/根号(z^2－1)，于是
(e^(－2z)g)'=e^(－2z)*(g'－2g)=2*e^(－2z)+2/根号(z^2－1)，由此得特解为
e^(－2z)g=－e^(－2z)+2ln(z+根号(z^2－1))，g(z)=－1+2e^(2z)ln(z+根号(z^2－1))。因此通解为
g(z)=Ce^(2z)－1+2e^(2z)ln(z+根号(z^2－1))，即－cos2y＝Ce^(2根号(1+x^2))－1+2e^(2根号(1+x^2))ln(x+根号(1+x^2))。

Answer 2

√(1+x^2)d(siny)^2=2x(siny)^2 *e^(2√(1+x^2)dx
d(siny)^2=(siny)^2 * e^(2√(1+x^2)) *[2x/√(1+x^2)]dx
d(siny)^2/(siny)^2=e^(2√(1+x^2)d2√(1+x^2)
ln|siny^2|=e^(2√(1+x^2)) +C