Question

已知an是等差数列、d为公差不为0、a1、d均为实数、它的前n项和记为Sn、设集合A

={（an,Sn÷n)|n∈N﹡}、B={（x,y)|四分之一X²－y²=1,x,y∈R}。试问下列命题是否是真命题，如果是真命题，请证明，如果是假命题请举反例说明。
（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一直线上
（2）A∩B至多有一个元素
（3）当a1=0时、一定有A∩B≠空集
要详细过程啊。。。感谢啦~~~~

Answer 1

解：
∵Sn=(a1+an)*n/2
∴Sn/n=a1/2+an/2
又∵a1是常数
∴Sn/n和an成线性相关
∴若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一直线y=a1/2+x/2上
即，选项（1）正确
∵双曲线x^2/4-y^2=1的其中一条渐近线为y=x/2
且(an,Sn/n)所在的直线y=a1/2+x/2和直线y=x/2平行
∴直线y=a1/2+x/2和双曲线x^2/4-y^2=1之多有一个交点
即，A∩B至多有一个元素
因此，选项（2）正确
当a1=0时，直线y=a1/2+x/2变成y=x/2，为双曲线x^2/4-y^2=1的其中一条渐近线
因此，当a1=0时，(an,Sn/n)所在的直线y=a1/2+x/2与双曲线x^2/4-y^2=1没有交点
即，A∩B=∅
∴选项（3）错误