Question

求解！一道数学题！

1×2×3×4×5×6×……×99×100的积末尾有几个零？
已知：2×3×5×2＝60,06的因数中含有1对质因数2和5，所以积的末尾有一个零；
2×2×7×5×3×5×5＝10500,10500的因数中含有两对质因数2和5，所以积的末尾有两个零。
以此类推，1×2×3×4×5×6×……×99×100的积末尾有几个零？

我觉得要看这当中有几对质因数2和5，但是一至一百这么多数，总不能一个一个排列出来去数吧。所以，求高人赐教，有什么方法做这道题。

Answer 1

法一：将原式分解质因数，也就是说将它写成完全由质因数乘积的形式，如果要形成0（或者10）则要看这个质因数乘积的式子中2和5的对数，因为一对形成一个零嘛。
可以很直观的看出来2的个数是明显多于5的，所以只要看5的个数就行了，式子中能分解出5的数有：

5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100

得到5的个数分别是：

1、 1、 1、 1、 2、 1、 1、 1、 1、 2、 1、1、 1、 1、 2、 1
1、 1、 1、 2
总共有24个，所以总共会形成24个0
法二：从1到10，连续10个整数相乘：

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。

连乘积的末尾有几个0？

答案是两个0。其中，从因数10得到1个0，从因数2和5相乘又得到1个0，共计两个。

刚好两个0？会不会再多几个呢？

如果不相信，可以把乘积计算出来，结果得到

原式=3628800。你看，乘积的末尾刚好两个0，想多1个也没有。

那么，如果扩大规模，拉长队伍呢？譬如说，从1乘到20：

1×2×3×4×…×19×20。这时乘积的末尾共有几个0呢？

现在答案变成4个0。其中，从因数10得到1个0，从20得到1个0，从5和2相乘得到1个0，从15和4相乘又得到1个0，共计4个0。

刚好4个0？会不会再多几个？

请放心，多不了。要想在乘积末尾得到一个0，就要有一个质因数5和一个质因数2配对相乘。在乘积的质因数里，2多、5少。有一个质因数5，乘积末尾才有一个0。从1乘到20，只有5、10、15、20里面各有一个质因数5，乘积末尾只可能有4个0，再也多不出来了。

把规模再扩大一点，从1乘到30：

1×2×3×4×…×29×30。现在乘积的末尾共有几个0？

很明显，至少有6个0。

你看，从1到30，这里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍数。从它们每个数可以得到1个0；它们共有6个数，可以得到6个0。

刚好6个0？会不会再多一些呢？

能多不能多，全看质因数5的个数。25是5的平方，含有两个质因数5，这里多出1个5来。从1乘到30，虽然30个因数中只有6个是5的倍数，但是却含有7个质因数5。所以乘积的末尾共有7个0。

乘到30的会做了，无论多大范围的也就会做了。

例如，这次乘多一些，从1乘到100：

1×2×3×4×…×99×100。现在的乘积末尾共有多少个0？

答案是24个。

Answer 2

其实，偶数足够多，就看有多少个末尾数字为5的数就可以了
一共有10个5，可以得到10个0
还有10的倍数9个，10、20、30……90，可以得到9个0
还有一个100，可以得到2个0
25、50、75还各多包含一个5的因子，又可得到3个0
故一共有10+9+2+3＝24个0。

追问

偶数足够多是指什么？没看懂。

追答

偶数乘以5都可以得到0，偶数的个数远多于5的个数，不必担心5多而偶数不足，所以说偶数足够多

Answer 3

解：有一个五：100÷5=20个
有两个五：100÷5²=4个
有三个五：100÷5³≈0个
20+4=24个
答：24个

祝您愉快

Answer 4

1*2*3*4*5*6*7*8*9=362880
又因为1~100有10个1~9 所以用362880*10=3628800
又因为10、20、30-------90、100中有11个0 所以在3628800后加上11个0
所以总共有13个0