Question

平面向量

在正六边形ABCDEF中，设AB=a，AF=b，点M N分别在对角线BF FD上，且BM=三分之根号三BF，FN=三分之根号三FD。
1. 用a b分别表示AM AN
2.求证：A M N三点共线

Answer 1

在这个条件下：BM=（根号3）/3倍BF，FN=（根号3）/3倍FD
求证AMN三点共线是不成立的。
应该改为：BM=2/3BF，FN=2/3FD
如图，连接AE交BF、DF于M、N，交CF于Q
很明显 ABDE为矩形，
FQ=QO=OP=1/3FP 即 FQ/FP=1/3
QM//PB FM/FB=FQ/FP=1/3
即 3FM=FB 所以 BM=2/3BF。
QM=1/3BP=1/3AQ ,
即 AM=2/3AQ,
所以 IAQI=IAOIcos30°=IAOI*（1/2)根号3
在上述条件下，可以计算出：用向量a，b分别表示向量AM,AN
很明显 向量AO=向量AB+向量AF=向量a+向量b
向量AM=2/3*向量AO*（1/2)根号3
=(向量a+向量b)*（根号3）/3
同样也可求出 向量 AM=2(向量a+向量b)*（根号3）/3
图形见下：