Question

已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,一1),椭圆的离心率为e等于根号6\3

问：设上述椭圆与直线y=kx+m（k不等于0）相交于不同的两点MN，是否存在整数m使得|AM|=|AN|成立，并说明理由

Answer 1

椭圆的b=1,e^2=2/3=c^2/a^2
所以a^2=3,b^2=1,c^2=2
椭圆方程为:x^2/3+y^2=1
若存在满足条件的直线,则MN线段的中点P与A的连线垂直于MN直线.(即A在MN线段的中垂线上,或三角形AMN为以A为顶点的等腰三角形)
直线与椭圆联立,则:
(1+3k^2)x^2+6kmx+3m^2-3=0
MN中点P(-3km/(1+3k^2),yp)
AP直线的斜率为:(yp+1)/xp=-1/k
即:xp+kyp+k=0
P在直线MN上,则yp=kxp+m
联立,解得:xp=-(km+k)/(1+k^2)=-3km/(1+3k^2),解得:3k^2=2m-1
联立方程:(1+3k^2)x^2+6kmx+3m^2-3=0要求有两个不同的交点M,N
判别式=12(1+3k^2-m^2)>0
3k^2>m^2-1
由上面3k^2=2m-1
则:2m-1>m^2-1
即0<m<2,所以存在整数m=1满足条件,此时k=正负根3/3