Question

已知函数f(x)=x^2+2xtana-1,x属于[-根号3,根号3],其中a属于(-π/2,π/2)

1.当a=-π/6时，求f(x)=的最大，最小值，
2.求使y=f(x)在区间【-1，根号3】上是单调函数的a的取值范围
3.判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论

Answer 1

1、f(x)=x²+2x×(√3/3)-1
=x²+(2√3/3)x-1
=(x+√3/3)²-4/3
根据抛物线的性质，
最小值为f(-√3/3)=-4/3；
最大值为f(√3)=3+2-1=4。
2、求导得
f'(x)=2x+2tana
令f'(x)＞0，则x＞-tana，f(x)递增；
令f‘(x)＜0，则x＜-tana，f(x)递减。
要使f(x)在[-1，√3]上单调，则应有
-tana≤-1或-tana≥√3
解得
π/4≤a≤π/2或-π/2≤a≤-π/3。
3、f(-x)=(-x)²+2(-x)tana-1=x²-2xtana-1
-f(x)=-x²-2xtana+1
可见，f(-x)≠f(x)，f(-x)≠-f(x)
f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。