Question

已知F1，F2是椭圆X的平方/100+Y的平方/64=1的两个焦点，P是椭圆上一点。求PF1*PF2的最大值。

嗯，就如题。

Answer 1

已知F₁，F₂是椭圆X²/100+Y²/64=1的两个焦点，P是椭圆上一点。求PF₁•PF₂的最大值。
解：a=10，b=8，c=6；F₁(-6，0)，F₂(6，0).
把椭圆方程改写成参数方程：x=10cost，y=8sint，t∈R.那么椭圆上点P的坐标为(10cost，8sint).
于是PF₁=(-6-10cost，8sint)；PF₂=(6-10cost，8sint)；
故PF₁•PF₂=(-6-10cost)(6-10cost)+64sin²t=-(36-100cos²t)+64sin²t
=100cos²t+64sin²t-36=100cos²t+64(1-cos²t)-36=36cos²t+28≦36+28=64
即PF₁•PF₂的最大值=64。当t=0或π时获得此值。获得最大值时P的坐标为(10，0)或(-10，0).

Answer 2

根据椭圆定义PF1+PF2=2a=20
∴PF1*PF2≤[（PF1+PF2）/2]²=100
当且仅当PF1=PF2=10时，等号成立