Question

初三数学，帮帮忙，O(∩_∩)O谢谢！

小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折．旋转放置，做成科学方舟模型．如图所示，该正五边形的边心距OB长为2，AC为科学方舟船头A到船底的距离，请你计算AC+12AB=_____．（不能用三角函数表达式表示）

Answer 1

AB=2√5，AC=5-√5，即AC+12AB=5-√5+24√5=5+23√5。 需要过程吗

追问

需要，谢谢啦！

追答

首先求sin18°和sin54°的值
如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，∠A=36°，∠ABC=72°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，于是就有AD=BD=BC，易证△BCD∽△ACB，∴CD/BC=BC/AC，即BC²=CD×AC，设AD=BD=BC=x，CD=y，于是x²=y（x+y），即y²+xy-x²=0，y=[（√5-1）x]/2，即AB=AC=x+y=x+[（√5-1）x]/2=[（√5+1）x]/2，∵△ADB是等腰三角形，AD=BD，DE⊥AB于E，∴AE=BE=（1/2）AB=[（√5+1）x]/4，∵在RT△AED中，∠AED=90°，∠A=36°，即∠ADE=54°，∴sin54°=AE/AD=﹛[（√5+1）x]/4﹜/x=(√5+1）/4，

过点A作AF⊥BC于F，∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∴BF=CF=（1/2）BC=（1/2）x，∴sin18°=BF/AB=[（1/2）x]/﹛[（√5+1）x]/2﹜，化简得（√5-1）/4，即sin18°=（√5-1）/4

由A开始按逆时针标上字母DEFG，连结OE，∵五边形ADEFG是正五边形，∴五个角都相等，由此∠DEF=108°，∵O是中心，∴∠OEB=54°，于是OE=OE/sin54°=2/[(√5+1）/4]=2√5-2，∴AB=2√5-2+2=2√5，由勾股定理求得BE=2[√（5-2√5）]，由此EF=4[√（5-2√5）]，∵∠AGF=108°，∴∠AGC=72°，由此∠GAC=18°，∴在RT△ACG中，AG=EF=4√（5-2√5），∴CG=sin18°AG=（√5-1）/4×4√（5-2√5）=（√5-1）√（5-2√5），由勾股定理求得AC=√（30-10√5）=5-√5

∴AB=2√5，AC=5-√5，即AC+12AB=5-√5+24√5=5+23√5

Answer 2

AB=2√5，AC=5-√5，即AC+12AB=5-√5+24√5=5+23√5