Question

用对数求导法对函数y=u(x)^v(x)求导，可我求的跟答案的不一样，谁能告诉我我计算的过程问题出在哪里吗？

(1)对函数两边同时取对数 => ㏑f(x)=v(x)·㏑u(x)
(2)对等式两端关于x求导 => 1/u(x)^v(x)·y'=v'(x)·㏑u(x)+v(x)·㏑u'(x)
(3)得 => y'=u(x)^v(x)[v'(x)·㏑u(x)+v(x)/u(x)]
答案是：y'=u(x)^v(x)[v'(x)·㏑u(x)+v(x)·u'(x)/u(x)]
我想知道是不是求㏑u'(x)的时候出问题了，㏑u'(x)=1/u(x)是错的吗？结果怎么多出一个u'(x)

Answer 1

㏑f(x)'=[v(x)·㏑u(x)]'
f'(x)/f(x)=v'(x)·㏑u(x)+v(x)u'(x)/u(x)
y'/y=v'(x)·㏑u(x)+v(x)u'(x)/u(x)
y'=y[v'(x)·㏑u(x)+v(x)u'(x)/u(x)]
=u(x)^v(x)[v'(x)·㏑u(x)+v(x)·u'(x)/u(x)]

㏑u'(x)=1/u(x)是错的,还要对u(x)继续求导
㏑u'(x)=u'(x)/u(x)
比如y=(x+1)^2
y'=2(x+1)*(x+1)'

Answer 2

是的，这是个复合函数，复合函数要分别求导，[ln u(x)]'=1/u(x) · u'(x)

Answer 3

你求lnu(x)的导数错了，这是复合函数的求导，应该这样：
[lnu(x)]'=1/u(x)* u'(x)

追问

为什么还要对u(x)求导啊，我很菜，请讲详细点，谢谢

追答

复合函数y=f(g(x))的求导规则就是y=f' g'
这里lnu(x), 可看成y=lnu, u=u(x), 则其导数y'=(lnu)' u'=1/u* u'