Question

高一数学必修五的问题

根据所给条件，求出三角形的形状：
a x cosA=b x cosB

求解，谢谢！

Answer 1

a x cosA=b x cosB
a/b=cosB/cosA
由正弦定理a/b=sinA/sinB
所以sinA/sinB=cosB/cosA
sinAcosA=sinBcosB
1/2sin2A=1/2sin2B
所以2A=2B或2A+2B=π
所以A=B或A+B=π
所以等腰三角形或直角三角形

追问

灰常感谢！但是这一步1/2sin2A=1/2sin2B 我不太明白是怎么来的，希望您解答！谢谢！

追答

二倍角公式
sin2A=2sinAcosA
所以sinAcosA=1/2sin2A

追问

为什么从1/2sin2A=1/2sin2B这一步可以得出2A=2B或2A+2B=π呢？

Answer 2

根据余弦定理，acosA=a(b²+c²-a²)/(2bc),bcosB=b(c²+a²-b²)/2ac
∴a(b²+c²-a²)/(2bc)=b(c²+a²-b²)/2ac整理得：
a²(b²+c²-a²)=b²(a²+c²-b²)→
a²（c²-a²）=b²(c²-b²)（Ö）→
c²=(a^4-b^4)/(a²-b²)=a²+b²,
所以可初步确定：该三角形是直角三角形，可是这里还存在一个问题：是不是等腰的。从（Ö）式可看出：若a=b也可以的。但是a²-b²不能做分母；所以我个人认为：若是等腰就不是直角，若是直角就不是等腰，但是等腰和直角必须得占一个。