Question

求∫cosx/(1+e^-x) dx

Answer 1

∫[-π/4-->π/4] cosx/(1+e^x)dx，如果上下限颠倒了，就是差个负号。
令x=-u，则dx=-du，u：π/4-->-π/4
∫[-π/4-->π/4] cosx/(1+e^x)dx
=-∫[π/4-->-π/4] cosu/(1+e^(-u))du
分子分母同乘以e^u，然后上下限交换，前面负号消去
=∫[-π/4-->π/4] e^ucosu/(e^u+1)du
定积分可以随便换积分变量
=∫[-π/4-->π/4] e^x(cosx)^2/(e^x+1)dx
这样证明了∫[-π/4-->π/4] cosx/(1+e^x)dx=∫[-π/4-->π/4] e^xcosx/(e^x+1)dx

将两个积分相加得：
∫[-π/4-->π/4] cosx/(1+e^x)dx+∫[-π/4-->π/4] e^x(cosx)^2/(e^x+1)dx
=∫[-π/4-->π/4] cosxdx
=sinx[-π/4-->π/4]
=√2
由于上面两个积分相等，因此每个都等于上面这个结果的一半。
∫[-π/4-->π/4] cosx/(1+e^x)dx=(√2)/2

Answer 2

竹简