Question

三棱锥P-ABC中 PA=PB CB⊥平面PAB M为PC中点 N在AB上 且AN=3NB (1)求证:MN⊥AB; (2)当∠APB=90°，BC=2

三棱锥P-ABC中 PA=PB CB⊥平面PAB M为PC中点 N在AB上 且AN=3NB (1)求证:MN⊥AB; (2)当∠APB=90°，BC=2 AB=4时，求MN 的长

Answer 1

1、取PB中点H，连结MH、HE，取AB中点E，连结PE，

则MH是△PBC的中位线，

∴MH//BC，

∵BC⊥平面PAB，

∴MH⊥平面PAB，

∵BN=AN/3，

∴BN=AB/4，

∵BE=AB/2，

∴N是BE的中点，

∴HN是△BPE的中位线，

∴NH//PE，

∵PE是等腰△PAB的中线，

∴PE⊥AB，

∴HN⊥AB，

HN是斜线MN在平面PAB上的射影，，

根据三垂线定理，

∴MN⊥AB。

2、∵〈APB=90°，

∴△PAB是等腰RT△，

AB=4，PE=AB/2=2，

HN=PE/2=1，

BC=2，

MH=BC/2=1，

在RT△MHN中，

根据勾股定理，

∴MN=√（1+1）=√2。