Question

证明:2(cosx-sinx)/1+sinx+cosx=cosx/1+sinx-sinx/1+cosx

Answer 1

证明：右边=cosx/(1+sinx)-sinx/(1+cosx)=[cosx(1+cosx)-sinx(1+sinx)]/(1+sinx)(1+cosx)
=(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx+sinxcosx)
因为，(sinx+cosx)²=1+2sinxcosx
所以，2sinxcosx=(sinx+cosx)²-1=(sinx+cosx+1)(sinx+cosx-1)
即：sinxcosx=(1+sinx+cosx)(sinx+cosx-1)/2
所以， 右边=cosx/(1+sinx)-sinx/(1+cosx)=[cosx(1+cosx)-sinx(1+sinx)]/(1+sinx)(1+cosx)
=(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx+sinxcosx)
=(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/[1+sinx+cosx+(1+sinx+cosx)(sinx+cosx-1)/2]
=2(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx)(2+sinx+cosx-1)
=2(cosx-sinx)/(1+sinx+cosx)=左边
所以，2(cosx-sinx)/(1+sinx+cosx)=cosx/(1+sinx)-sinx/(1+cosx)
【点评】在证明三角函数恒等式时，常采用三种方法：1、从等式的左边向右证；2、从等式的右边向左证；3、从等式的左、右出发证明恒等于同一个等式。以上三种方法的选择都是视具体的题目而定。本题选择第二种方法比较容易证明，故采用了从等式的右边向左证明。