Question

设函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.

Answer 1

f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值-2
求导
f'(x)=2x²+2ax+b
f'(1)=2+2a+b=0
f(1)=1+a+b+c=-2

2a+b=-2
a+b=-3-c

a=1+c
b=-4-2c

f'(x)=2x²+2ax+b
=2x²+2(1+c)x+(-4-2c)
=2x²+2(1+c)x-2(c+2)
=2(x-1)[x-(-c-2)]
当 -c-2＞1 即 c<-3 时
单调增区间为 (负无穷，1) 和 (-c-2,正无穷)
单调减区间为 （1,-c-2）
当 -c-2=1 即 c=-3时 f'(x)≥0 恒成立
单调增区间为 (负无穷，1)(1，正无穷)
当 -c-2<1 即 c>-3时
单调增区间为 (负无穷，-c-2)和(1,正无穷)
单调减区间为 （-c-2,1）