Question

求解一道初三的数学题，谢谢！

四边形ABCD是平行四边形，AE垂直BC于E,AF垂直CD于F。（有图点开）
（1）三角形ABE与三角形ADF相似吗？（已解为相似）
（2）三角形AEF于三角形ABC相似吗？理由？（最好全过程！）

Answer 1

若要证AEF相似于ABC，
则需∠BAC=∠EAF,
又∠EAC=∠CAE,
故∠BAE=∠CAF.
由（1）知∠FAD=∠BAE,
故只要证∠CAF=∠DAF
即AD=AC.
因为缺少条件，
所以不相似。
但若要证
AEF相似于BAC,
则∵AE=⊥BC，AF⊥CD，在四边形AECF中，∠EAF+∠ECF=180°，
∵∠B+∠ECF=180°，∴∠B=∠EAF，
∵△ABE∽△ADF，∴AE∶AB=AF∶AD=AF∶BC，
∴△AEF∽△BAC。（wzhq777的解答）

Answer 2

(1) ∠D+∠BCD=∠B+∠BCD=180
∴ ∠B=∠D, 又∠AEB=∠AFD=90
∴ △AEB ~ △AFD

(2) ∵ AF⊥ CD , AB//CD
∴∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠B+∠BAE=90
∠B=∠EAF
∵∠AEC=∠AFC=90,AC为外接圆直径
∴∠ACB=∠EFA （同弦AE对同角)
∴ △AEF ~ △ABC

追问

为何AC可以作为直径画圆而且E、F都在圆周上？我试了很多次，的确如此，求解答。谢谢！

追答

我不知道你上初几?在初三阶段会学到三角形的外接圆、内切圆等，在这部分有一些定理。例如正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=R(R为斜边，即直径），属于直角三角形外接圆性质定理

追问

谢谢！初三上学期由于特殊原因所以未上学学过。

追答

如果你不愿意用这个性质定理,可以通过第一问的结论 △AEB ~ △AFD
得出AE:AF=AB:AD
由平行四边形ABCD可知BC=AD
则AE:AF=AB:BC,即AE:AB=AF:BC
AF⊥ CD , AB//CD
∴∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠B+∠BAE=90
∠B=∠EAF
符合两边对应成比例,夹角相等,则两三角形相似,△AEF ~ △ABC

Answer 3

⑵∵AE=⊥BC，AF⊥CD，在四边形AECF中，∠EAF+∠ECF=180°，
∵∠B+∠ECF=180°，∴∠B=∠EAF，
∵△ABE∽△ADF，∴AE∶AB=AF∶AD=AF∶BC，
∴△AEF∽△BAC。