Question

P是抛物线C：y=1/2*x^2上横坐标大于零一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,

P是抛物线C：y=1/2*x^2上横坐标大于零一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,，直线l与抛物线C相交于另一点Q
若向量OP*向量OQ=0，求过点OPQ圆的方程

Answer 1

设P点坐标为(x1,y1)，显然y1 = x1^2/2。y=x^2/2的导数为y' = x，可见抛物线C在P点的切线斜率为x1。由于直线l与抛物线C在P点的切线垂直，直线l的斜率必为k = -1/x1。设直线l的方程为y = - x/x1 + b，因为l过P点(x1, x1^2/2)，有x1^2/2 = -x1/x1 + b，
即b = x1^2/2 + 1。可知直线l的方程为
y = -x/x1 + x1^2/2 + 1。
接下来令Q点坐标为(x2,y2)，显然y2 = x2^2/2。由于Q点(x2,x2^2/2)在直线l上，有
x2^2/2 = -x2/x1 + x1^2/2 + 1。 .......... (*)
另一方面，向量OP = (x1, x1^2/2)，向量OQ = (x2,x2^2/2)。由于向量OP*向量OQ = 0，有
x1 * x2 + x1^2 * x2^2 / 4 = 0，
可见x1 * x2 = -4，x2 = -4/x1。代入(*)式有
(16/x1^2)/2 = 4/x1^2 + x1^2/2 + 1，
两边同时乘以2x1^2并整理可得
x1^4 + 2x1^2 - 8 = 0，
即(x1^2 - 2)(x1^2 + 4) = 0。显然x1^2 = 2，x1 = ±√2，x2 = -4/x1 = -+2√2。
P、Q坐标分别为(√2, 1)、(-2√2,4)或(-√2, 1)、(2√2,4)。
先考虑P、Q坐标为(√2, 1)、(-2√2,4)的情况。由于向量OP*向量OQ = 0，可知OP⊥OQ，则PQ为过OPQ的圆的直径。PQ中点坐标为([√2+(-2√2)]/2, (1+4)/2) = (-√2/2,5/2)，长度为√[(3√2)^2 + 3^2] = 3√3。可见过OPQ的圆以(-√2/2,5/2)为圆心，半径为3√3/2，其方程为
(x+√2/2)^2 + (y-5/2)^2 = 27/4。
若P、Q坐标为(-√2, 1)、(2√2,4)，同理可知过OPQ的圆的方程为
(x-√2/2)^2 + (y-5/2)^2 = 27/4。