Question

大一微积分解答：lim(n→+∞)（2^n+4^n+6^n+8^n）^1/n=?

Answer 1

原式取自然对数，得lim(n→+∞) (1/n)*ln(2^n+4^n+6^n+8^n)=lim(n→+∞) ln(2^n+4^n+6^n+8^n)/n
上下趋于无穷，使用洛必达法则得(2^n*ln2+4^n*ln4+6^n*ln6+8^n*ln8)/(2^n+4^n+6^n+8^n)
上下同除8^n得[(2/8)^n*ln2+(4/8)^n*ln4+(6/8)^n*ln6+ln8)]/[(2/8)^n+(4/8)^n+(6/8)^n+1]
n→+∞时所有真分数n次幂趋于0，得结果ln8，则原极限是e^(ln8)=8

Answer 2

括号里提出8^n得到
lim(n→+∞)（2^n+4^n+6^n+8^n）^1/n=8lim(n→+∞)（(1/4)^n+(1/2)^n+(3/4)^n+1）^1/n
= 8