Question

【急急急！】已知三角形ABC中,边a、b、c满足2B=A+C,且b=1,求a+c的取值范围

Answer 1

三角形ABC中角2B=A+C b=1 求a+c的取值范围

由A＋B＋C＝180°，2B＝A＋C得：B＝60°
由余弦定理得：b^2＝a^2＋c^2－2ac*cos60°得：
　　　　　　a^2＋c^2－ac＝1
即(a＋c)^2＝3ac＋1
因为(a＋c)^2≥4ac ,所以(a＋c)^2≥(4/3)*[(a+c)^2－1]
所以a＋c≤2　
由于a＋c＜b ,所以1＜a+c≤2

Answer 2

由正弦定理得到a/sinA=b/sinB=c/sinC
因此,a+c=b(sinA+sinC)/sinB

因为2B=A+C,A+B+C=180°
B=60°
A+C=120°
由于sinA+sinC=sinA+sin(120°-A)
=sinA+(√3/2)cosA+(1/2)sinA
=(3/2)sinA+(√3/2)cosA
=√3sin（A+30°)

所以a+c=√3sin（A+30°)/sin60°=2sin(A+30°)
因为0°<A<120°
所以30°<A+30°<150°
所以（1/2）<sin(A+30°)≤1
因此1<a+c≤2