Question

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，

cos∠BCD=¾．（1）求证：CD∥BF；（2）求⊙O的半径；（3）求弦CD的长．

Answer 1

（1）证明：因为 圆O的直径是AB，且BF是圆O的切线，
所以 BF垂直于AB，
因为 CD垂直于AB，
所以 CD//BF。
（2）解： 因为 cosBCD=3/4, 又 角A=角BCD，
所以 cosA=3/4,
因为 AB与CD互相垂直，
所以 角AEB是直角，
所以 cosA=AE/AD,
所以 3/4=AE/3， AE=9/4，
连结BD，
因为 AB是圆O的直径，
所以 角ADB是直角，
又因为 CD垂直于AB，
所以 AD平方=AE乘AB，
9=9AB/4，
AB=4，
所以 圆O的半径为2。
（3）解：因为 圆O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，
所以 CD=2DE，DE平方=AE乘BE，
因为 AB=4，AE=9/4，
所以 BE=4--9/4=7/4，
所以 DE平方=9/4乘7/4=63/16，
所以 DE=（3根号7）/4，
所以 CD=2DE
=（3根号7）/2。

Answer 2

见图。

Answer 3

解：（1）∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF

∵AB⊥CD

∴CD∥BF

（2）连结BD

∵AB是直径 ∴∠ADB=90°

∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=

∴cos∠BAD=

又∵AD=3 ∴AB=4

∴⊙O的半径为2

（3）∵cos∠DAE= AD=3∴AE=

∴ED=

∴CD=2ED=

Answer 4

（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，（1分）
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；（2分）

（2）解：连接BD，∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=34，（4分）
∴cos∠BAD=ADAB=
34，
又∵AD=3，
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2；（5分）

（3）解：∵cos∠DAE=AEAD=
34，AD=3，
∴AE=ADcos∠DAE=3×34=94，（6分）
∴ED=32-(
94)2=
3
74，（7分）
∴CD=2ED=3
72．（8分）

Answer 5

（1）证明：连接OC．
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAF．
∴OC∥AF．
∴CF⊥OC．
∴CF是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，
∴△ABC∽△CBE．
∴S△CBES△ABC=(
BCAB)2=（sin∠BAC）2=(
25)2=425．
∴S△CBDS△ABC=825．