Question

增函数 证明二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a<0) 在区间（负无穷大，-b/2a) 上是增函数。

证明二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a<0) 在区间（负无穷大，-b/2a) 上是增函数。

Answer 1

设 x1<x2<-b/2a
那么f(x1)-f(x2)
=ax1^2+bx1+c-(ax2^2+bx2+c)
=a(xa^2-x2^2)+b(x1-x2)
=[a(x1+x2)+b](x1-x2)

因为 x1<-b/2a, x2<-b/2a
所以 x1+x2<-b/a
因为 a<0
所以 a(x1+x2)>-b
所以 a(x1+x2)+b>0
因为 x1<x2
所以 x1-x2<0
所以 [a(x1+x2)+b](x1-x2)<0
所以 f(x1)<f(x2)
因为 x1<x2<-b/2a
所以 函数f(x)=ax^2+bx+c (a<0)在区间(负无穷大，-b/2a)上是增函数

Answer 2

1.一般方法：
设X1<X2≤-b/2a

f(X1)-f(X2)=[a(X1+X2)+b](X1-X2)
又因为X1+X2<-b/a 且X1-X2<0

--->f(X1)-f(X2)<0
--->当x≤-b/2a，f(x)为增函数

导数方法：
f'(x)=2ax+b
当x≤-b/2a时
f'(x)≥0
∴当x≤-b/2a，f(x)为增函数