Question

已知一个点和一条直线 求平面方程

一平面包含点P（-1,2,1）和 平面x+y-z=2与平面2x-y+3z=1相交的线。求平面方程

Answer 1

平面1法向量n1=(1,1,-1),
平面2法向量n2=(2,-1,3),
设二平面交线的方向向量为n3=(x3,y3,1),
则n3⊥n1,n3⊥n2,
∴n3·n1=x3+y3-1=0,
n3·n2=2x3-y3+3=0,
x3=-2/3,
y3=5/3,
n3=(-2/3,5/3,1),
在二平面交线上找一点M（1，y0,z0),
1+y0-z0=2,
2-y0+3z0=1,
z0=0,
y0=1,
则在二平面交线上有一点M（1，1，0），
向量PM=（2，-1，-1），
设所要求的平面法向量n4=(x4,y4,1),
向量n4⊥n3,n4⊥PM，
-2x4/3+5y2/3+1=0,
2x4-y4-1=0,
y4=-1/2,
x4=1/4,
∴法向量n4=(1/4,-1/2,1),
则平面方程为：
(x+1)*(1/4)+(y-2)*(-1/2)+(z-1)*1=0,
即:x-2y+4z+1=0.

若用大学程度来解，则可用两次向量积（叉积）来解，
交线方向向量n3=n1×n2,
| i j k|
n1×n2= | 1 1 -1|
| 2 -1 3|
=2i-5j-3k,
n3=(2,-5,-3),
在二平面交线上有一点M（1，1，0），
向量PM=（2，-1，-1），
所要求的平面法向量n4=n3×PM
| i j k|
n4=| 2 -5 -3|
| 2 -1 -1|
=2i-4j+8k,
n4=(2,-4,8),
经过P（-1，2，1）的平面方程为：
2*（x+1)+(y-2)*(-4)+8*(z-1)=0,
即x-2y+4z+1=0.