Question

【数学】已知二次函数f(x)=ax²+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1 求f(x)的表达式

答案是
由f(1)=a+b+c
f(-1)=a-b+c
f(0)=c

a=1/2[f(1)+f(-1)]-f(0)
得 b=1/2[f(1)+f(-1)]
c=f(0)
并且f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于1或-1
所以所求函数为f(x)=2x²-1或f(x)=-2x²+1或f(x)=-x²-x+1或.....

看答案都看不懂啊
a=1/2[f(1)+f(-1)]-f(0)
b=....
是怎么得出的呢？

Answer 1

a=1/2[f(1)+f(-1)]-f(0)
b=1/2[f(1)+f(-1)]
是解下面
f(1)=a+b+c
f(-1)=a-b+c
f(0)=c 这三个方程式得出，其中将f(1),f(-1)和f(0)当作已知数解得
f(0)=c代入f(1)=a+b+c f(-1)=a-b+c得f(1)=a+b+f(0) f(-1)=a-b+f(0)，解这两个方程得
a=1/2[f(1)+f(-1)]-f(0)
b=1/2[f(1)+f(-1)]

追问

f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于1或-1
所以所求函数为f(x)=2x²-1或f(x)=-2x²+1或f(x)=-x²-x+1
这2句是怎么得出的呢

追答

f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于1或-1，如下：
因为|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1
|f(1)|=|a+b+c|=1=>a+b+c=1,a+b+c=-1
|f(-1)|=|a-b+c|=1=>a-b+c=1,a-b+c=-1
|f(0)|=|c|=1 =>c=1或-1,代入上面两式得
c=1 a+b+1=1,a+b+1=-1或c=-1 a+b-1=1,a+b-1=-1
c=1 a-b+1=1,a-b+1=-1或c=-1 a-b-1=1,a-b-1=-1
上下方程组各自组合成方程组：1、a+b+1=1，a-b+1=1 2、a+b+1=1，a-b+1=-1 3、a+b+1=-1，a-b+1=1 4、a+b+1=-1，a-b+1=-1 5、a+b-1=1，a-b-1=1 6、a+b-1=1 a-b-1=-1 7、a+b-1=-1 ，a-b-1=1 8、a+b-1=-1，a-b-1=-1
解得：1、a=b=0 =1无解 2、a=-1,b=1,c=1 3、a=b=-1,c=1 4、a=-2,b=1,c=1
5、a=2,b=0,c=-1 6、a=b=1,c=-1 7、a=1,b=-1,c=-1 8、a=b=0,c=-1无解
将2、3、4、5、6、7代入函数f(x)=ax²+bx+c得
1、f(x)=-x²+x+1 2、f(x)=-x²-x+1 3、f(x)=-2x²+x+1 4、f(x)=2x²-1 5、f(x)=x²+x-1
6、f(x)=x²-x-1

追问

我的天哪，，，
好长...

追答

简单点就是若是它们同时等于1或-1，那么a和b就会等于0，函数就不是二次函数