Question

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD丄BC于D,BF平分∠ABC,交AD于点E,交AC于点F,试说明:∠AEF=∠AFE。

Answer 1

因为AD⊥BC，FE1⊥BC于E,所以,∠ADC=∠FEC=90°,则AD//EF,
因为∠A=90°,∠FEC=90°,BF平分∠ABC,所以,AF=EF,(角平分线上的点到角两边距离等).易证三角形ABF与三角形BEF全等(角角边),所以BA=BE,再加上平分角和一条公共边得到三角形ABG与三角形EDB全等(边角边),所以∠BAD=∠BEG,
由于=∠C+=∠ABD=90度,=∠ DAB=∠+ABD=90度,所以=∠C==∠BAD,又有=∠BAD==∠BEG,所以
=∠BEG==∠C,所以GE//AF,加上AD//EF,可得平行四边形AGEF,又因为AF=EF,所以平行四边形AGEF是菱形.

Answer 2

因为AF平分角ABC，所以角ABF=角FBC，角AFB+角ABF=90，角FBC+角BED=90度
角AEF=角BED，所以，得到结论。
用到的定理，对顶角相等，直角三角形两锐角和=90度。