Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB

(1)求点B的坐标；

(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
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Answer 1

解:(1)作BH垂直Y轴于H,则:∠BOH=∠AOB-90°=30°.
∴BH=OB/2=2,OH=√(OB²-BH²)=2√3.故点B为(2,2√3)
(2)抛物线过点O,则c=0,设过A(-4,0)和B(2,2√3)的抛物线为y=ax²+bx.
则:0=a(-4)²+b(-4);
2√3=a*2²+b*2.
解得:a=√3/6,b=2√3/3.
故过点A，O，B的抛物线为：y=(√3/6)x²+(2√3/3)x.
(3)抛物线y=(√3/6)x²+(2√3/3)x的对称轴为直线x=-2.
连接AB，交直线x=-2于点C,则此时△BOC周长最小.
由A(-4,0),B(2,2√3)可求得直线AB为:y=(√3/3)x+4√3/3.
x=-2时,y=(√3/3)*(-2)+4√3/3=2√3/3.即点C的坐标为（-2, 2√3/3);
(4)设点P为(-m,-n),作PD垂直Y轴于D,AE垂直DP的延长线于E,BF垂直PD的延长线于F.
则:AE=n,PE=-m-(-4)=4-m;PF=2-(-m)=2+m;EF=2-(-4)=6.
S△PAB=S梯形AEFB-S△AEP-S△PFB=(AE+BF)*EF/2-AE*PE/2-BF*PF/2
=(2n+2√3)*6/2-n*(4-m)/2-(2√3+n)*(m+2)/2=3n-√3m+4√3.
点P(-m,-n)在抛物线上，则-n=(√3/6)m²-(2√3/3)m,n=(-√3/6)m²+(2√3/3)m.
∴S⊿PAB=3[(-√3/6)m²+(2√3/3)m]-√3m+4√3=(-√3/2)(m-1)²+9√3/2.
故当m=1时,S⊿PAB有最大值,且最大值为9√3/2.
m=1时,-n=(√3/6)*1²-(2√3/3)*1=-√3/2,即此时点P为(-1,-√3/2).

Answer 2

解：
（1）点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB，所以OB=OA=2，过B点作BD垂直X轴于D，依题意有角AOB=120°，所以角BOD=60°，则OD=1，BD=根号3，即点B的坐标为（1，根号3）。
（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c，把A、O、B三点代入，求得a=根号3/3，b=2根号3/3，c=0，所以经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y=(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3。
（3）y=(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3化为y=(3根号3)(x+1)^2/3-(2根号3)/3。所以抛物线的对称为
x=-1，因为A点和O点是关于抛物线对称轴对称的点，连接AB交抛物线对称轴于C，所以点C即为所求。AB的解析式可求得为y=根号3x/3+(2根号3)/3，把x=-1代入，求得y=根号3/3，所以点C的坐标为（-1，根号3/3）。
（4）连接PA、PB，过P作PF垂直X轴于点F交AB于E，设P（x，(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3），E为(x，根号3x/3+(2根号3)/3)，EP=根号3x/3+(2根号3)/3-[(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3]=-(根号3/3)(x+1/2)^2+11根号3/12，则S△PAB=S△PAE+S△ABE
=0.5*AF*EP+0.5*DE*EP=0.5*3*EP=3EP/2
=-3(根号3/6)(x+1/2)^2+33根号3/24
所以当x=-1/2时，△PAB是否有最大面积33根号3/24，此时求得点P的坐标为（-1/2，-根号3/4）

Answer 3

解：
（1）点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB，所以OB=OA=2，过B点作BD垂直X轴于D，依题意有角AOB=120°，所以角BOD=60°，则OD=1，BD=根号3，即点B的坐标为（1，根号3）。
（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c，把A、O、B三点代入，求得a=根号3/3，b=2根号3/3，c=0，所以经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y=(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3。
（3）y=(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3化为y=(3根号3)(x+1)^2/3-(2根号3)/3。所以抛物线的对称为
x=-1，因为A点和O点是关于抛物线对称轴对称的点，连接AB交抛物线对称轴于C，所以点C即为所求。AB的解析式可求得为y=根号3x/3+(2根号3)/3，把x=-1代入，求得y=根号3/3，所以点C的坐标为（-1，根号3/3）。
（4）连接PA、PB，过P作PF垂直X轴于点F交AB于E，设P（x，(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3），E为(x，根号3x/3+(2根号3)/3)，EP=根号3x/3+(2根号3)/3-[(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3]=-(根号3/3)(x+1/2)^2+11根号3/12，则S△PAB=S△PAE+S△ABE
　　　　　　　　　　　　　=0.5*AF*EP+0.5*DE*EP=0.5*3*EP=3EP/2
　　　　　　　　　　　　　=-3(根号3/6)(x+1/2)^2+33根号3/24
所以当x=-1/2时，△PAB是否有最大面积33根号3/24，此时求得点P的坐标为（-1/2，-根号3/4）