Question

如图，已知⊙O1、⊙O2内切于点P，⊙1的弦AB交⊙O2于C、D两点，连接PA、PC、PD、PB，设PB与⊙O2交与点E。

求证：PA·PE=PC·PD

Answer 1

过P作⊙O1、⊙O2的公切线PF，使F、A落在PC的同侧。
∵PF切⊙O2于P，∴∠FPA＝∠PBD。　∵PF切⊙O1于P，∴∠FPC＝∠PDA。
∴∠APC＝∠FPC－∠FPA＝∠PDA－∠PBD。
由三角形外角定理，有：∠PDA＝∠DPE＋∠PBD，∴∠PDA－∠PBD＝∠DPE。
∴∠APC＝∠DPE。
∵P、C、D、E共圆，∴∠ACP＝∠DEP。
由∠APC＝∠DPE、∠ACP＝∠DEP，得：△APC∽△DPE，∴PA/PD＝PC/PE，
∴PA×PE＝PC×PD。