求f(x)=n*x(1-x)^n(n属于N)在（0,1）上最大值M,并求limM n趋向无穷
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f(x)=n*x(1-x)^n=n(x-1)*(1-x)^n+n*(1-x)^n
=-n(1-x)^(n+1)+n*(1-x)^n
f'(x)=-n(n+1)(1-x)^n+n^2*(1-x)^(n-1)
=[-(n^2+n)(1-x)+n^2](1-x)^(n-1)
=[n^2x-nx-n](1-x)^(n-1)
=n(nx-x-1)(1-x)^(n-1)
nx-x-1=0
x=1/(n-1) 时，f'(x)=0,f(x)最大 1-x=(n-2)/(n-1)
M=f(x)=[n/(n-1)]*(1-1/(n-1))^n
lim(n->+∝)[n/(n-1)]=1 lim(n->+∝)[(1-1/(n-1))^(-(n-1)]^(-n/(n-1))=1/e
lim(n->+∞)[n/(n-1)]*(1-1/(n-1))^n=1/e
=-n(1-x)^(n+1)+n*(1-x)^n
f'(x)=-n(n+1)(1-x)^n+n^2*(1-x)^(n-1)
=[-(n^2+n)(1-x)+n^2](1-x)^(n-1)
=[n^2x-nx-n](1-x)^(n-1)
=n(nx-x-1)(1-x)^(n-1)
nx-x-1=0
x=1/(n-1) 时，f'(x)=0,f(x)最大 1-x=(n-2)/(n-1)
M=f(x)=[n/(n-1)]*(1-1/(n-1))^n
lim(n->+∝)[n/(n-1)]=1 lim(n->+∝)[(1-1/(n-1))^(-(n-1)]^(-n/(n-1))=1/e
lim(n->+∞)[n/(n-1)]*(1-1/(n-1))^n=1/e
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